KF
Jak działa
Predict: x̂⁻ = F·x̂ + B·u; P⁻ = F·P·Fᵀ + Q. Update: K = P⁻·Hᵀ·(H·P⁻·Hᵀ + R)⁻¹; x̂ = x̂⁻ + K·(z - H·x̂⁻); P = (I - K·H)·P⁻. Reziduum (innowacja) z - H·x̂⁻ jest sygnałem do detekcji uszkodzeń (FDI).
Rozwiązany problem
Jak optymalnie estymować stan układu dynamicznego na podstawie zaszumionych pomiarów, bez przechowywania całej historii danych i przy ograniczonej mocy obliczeniowej.
Komponenty
Propagacja stanu i kowariancji przez model dynamiki (macierze F, B, Q).
Aktualizacja szacunku z użyciem nowego pomiaru z (macierze H, R), obliczenie wzmocnienia Kalmana K.
Różnica między przewidywanym a rzeczywistym pomiarem: ν = z - H·x̂⁻. Podstawa FDI.
Implementacja
Źle dobrane kowariancje szumu Q (procesu) i R (pomiaru) prowadzą do rozbieżności filtra lub zbyt wolnej aktualizacji.
EKF traci optymalnościę i może się rozbijać dla silnie nieliniowych modeli.
Ewolucja
R. E. Kálmán publikuje „A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems" w Journal of Basic Engineering ASME.
Rozszerzenie na czas ciągły (Kálmán–Bucy Filter).
KF zastosowany w komputerze nawigacyjnym misji Apollo — pierwsza dużoskalowa implementacja przemysłowa.
EKF staje się standardem w nawigacji robotycznej i SLAM po popularyzacji przez Smithe, Self & Cheeseman.
Julier & Uhlmann proponują UKF — lepsze przybliżenie nieliniowości przez punkty sigma niż linearyzacja EKF.
Szczegóły techniczne
Wymagania sprzętowe
KF realizowany na CPU RT w większości embedded i robotycznych systemów.
FPGA stosowane dla bardzo krótkich cykli (np. IMU 10 kHz) z deterministycznym opóźnieniem.
Algorytm jest hardware-agnostic — kluczowy jest deterministyczny scheduler.